☛ Loi des sinus

Énoncé

Soit \(\text{ABC}\) un triangle.
On note \(\alpha =\widehat{\text{BAC}}, \ \beta=\widehat{\text{ABC}},\) et \(\gamma = \widehat{\text{BCA}}\).

On admet que l'aire \(\mathcal{A}\) du triangle \(\text{ABC}\) est donnée par \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)\).
1. Exprimer l'aire \(\mathcal{A}\) à l'aide de \(\sin (\beta)\), puis à l'aide de \(\sin (\gamma)\).
2. Démontrer que l'on a : \(\dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)} = \dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)} = \dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}\).

Solution
1. On a \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{BC}\times \sin (\beta)\) et \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AC}\times \text{BC}\times \sin (\gamma)\).
2.

• D'une part :  \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{BC}\times \sin (\beta)\).
  

En divisant chaque membre de l'égalité par \(\dfrac{1}{2}\text{AB}\) (qui est non nul), on obtient :
\(\text{AC}\times \sin (\alpha)= \text{BC}\times \sin (\beta)\).
D'où \(\dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)}= \dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)}\) (avec \(\sin (\alpha) \neq0\) et \(\sin (\beta) \neq0\)).

• D'autre part : 
  

\(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AC}\times \text{BC}\times \sin (\gamma)=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)\).
En divisant chaque membre de l'égalité par \(\dfrac{1}{2}\text{AC}\) (qui est non nul), on obtient :
\(\text{AB}\times \sin (\alpha)= \text{BC}\times \sin (\gamma)\)
D'où   \(\dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}= \dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)}\) (avec \(\sin (\alpha) \neq0\) et \(\sin (\gamma) \neq0\)).
On a donc bien démontré que \(\dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)}= \dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)}=\dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}\).